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篇1

LTCM基金是于1993年建立的“對沖”（hedge）基金，資金額為35億美元，從事各種債券衍生物交易，由華爾街債券投資高手梅里韋瑟（J.W.Meriwether）主持。其合伙人中包括著名的數學金融學家斯科爾斯（M.S.Scholes）和默頓（R.C.Merton），他們參與建立的“期權定價公式”（即布萊克-斯科爾斯公式）為債券衍生物交易者廣泛應用。兩位因此獲得者1997年諾貝爾經濟學獎。LTCM基金的投資策略是根據數學金融學理論,建立模型，編制程序，運用計算機預測債券價格走向。具體做法是將各種債券歷年的價格輸入計算機，從中找出統計相關規律。投資者將債券分為兩類：第一類是美國的聯邦公券，由美國聯邦政府保證，幾乎沒有風險；第二類是企業或發展中國家征服發行的債券，風險較大。LTCM基金通過統計發現，兩類債券價格的波動基本同步，漲則齊漲，跌則齊跌，且通常兩者間保持一定的平均差價。當通過計算機發現個別債券的市價偏離平均值時，若及時買進或賣出，就可在價格回到平均值時賺取利潤。妙的是在一定范圍內，無論如何價格上漲或下跌，按這種方法投資都可以獲利。難怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中，資金增長高達300%。不僅其合伙人和投資者發了大財，各大銀行為能從中分一杯羹，也爭著借錢給他們，致使LTCM基金的運用資金與資本之比竟高達25：1。

天有不測風云！1998年8月俄羅斯政府突然宣布推遲償還短期國債券，這一突發事件觸發了群起拋售第二類債券的狂潮，其價格直線下跌，而且很難找到買主。與此同時，投資者為了保本，紛紛尋求最安全的避風港，將巨額資金轉向購買美國政府擔保的聯邦公債。其價格一路飛升到歷史新高。這種情況與LTCM計算機所依據的兩類債券同步漲跌之統計規律剛好相反，原先的理論，模型和程序全都失靈。LTCM基金下錯了注而損失慘重。雪上加霜的是，他們不但未隨機應變及時撤出資金，而是對自己的理論模型過分自信，反而投入更多的資金以期反敗為勝。就這樣越陷越深。到9月下旬LTCM基金的虧損高達44%而瀕臨破產。其直接涉及金額為1000億美元，而間接牽連的金額竟高達10000億美元！如果任其倒閉，將引起連鎖反應，造成嚴重的信譽危機，后果不堪設想。

由于LTCM基金虧損的金額過于龐大，而且涉及到兩位諾貝爾經濟學獎德主，這對數學金融的負面影響可想而知。華爾街有些人已在議論，開始懷疑數學金融學的使用性。有的甚至宣稱：永遠不向由數學金融學家主持的基金投資，數學金融學面臨挑戰。

LTCM基金事件爆發以后，美國各報刊之報道，評論，分析連篇累牘，焦點集中在為什么過去如此靈驗的統計預測理論竟會突然失靈？多數人的共識是，布萊克-斯科爾斯理論本身并沒有錯，錯在將之應用于不適當的條件下。本文作者之一在LTCM事件發生之前四個月著文分析基于隨機過程的預測理論，文中將隨機過程分為平穩的，似穩的以及非穩的三類，明確指出：“第三類隨機過程是具有快變的或突變達的概率分布，可稱為‘非穩隨機過程’。對于這種非穩過程，概率分布實際上已失去意義，前述的基于概率分布的預測理論完全不適用，必須另辟途徑，這也可以從自然科學類似的情形中得到啟發。突變現象也存在于自然界中，……”此次正是俄羅斯政府宣布推遲償還短期國債券這一突發事件，導致了LTCM基金的統計預測理論失靈，而且遭受損失的并非LTCM基金一家，其他基金以及華爾街的一些大銀行和投資公司也都損失不貲。經典的布萊克‐斯科爾斯公式

布萊克‐斯科爾斯公式可以認為是，一種在具有不確定性的債券市場中尋求無風險套利投資組合的理論。歐式期權定價的經典布萊克‐斯科爾斯公式，基于由幾個方程組成的一個市場模型。其中，關于無風險債券價格的方程，只和利率r有關；而關于原生股票價格的方程，則除了與平均回報率b有關以外，還含有一個系數為σ的標準布朗運動的“微分”。當r，b，σ均為常數時，歐式買入期權（Europeancalloption）的價格θ就可以用精確的公式寫出來，這就是著名的布萊克‐斯科爾斯公式。由此可以獲得相應的“套利”投資組合。布萊克‐斯科爾斯公式自1973年發表以來，被投資者廣泛應用，由此而形成的布萊克‐斯科爾斯理論成了期權投資理論的經典，促進了債券衍生物時常的蓬勃發展。有人甚至說。布萊克‐斯科爾斯理論開辟了債券衍生物交易這個新行業。

筆者以為，上述投資組合理論可稱為經典布萊克‐斯科爾斯理論。它盡管在實踐中極為成功，但也有其局限性。應用時如不加注意，就會出問題。

局限性之一：經典布萊克‐斯科爾斯理論基于平穩的完備的市場假設，即r，b，σ均為常數，且σ>0，但在實際的市場中它們都不一定是常數，而且很可能會有跳躍。

局限性之二：經典布萊克‐斯科爾斯理論假定所有投資者都是散戶，而實際的市場中大戶的影響不容忽視。特別是在不成熟的市場中，有時大戶具有決定性的操縱作用。量子基金在東南亞金融危機中扮演的角色即為一例。在這種情況下，b和σ均依賴于投資者的行為，原生股票價格的微分方程變為非線性的。

經典布萊克‐斯科爾斯理論基于平穩市場的假定，屬于“平穩隨機過程”，在其適用條件下十分有效。事實上，期權投資者多年來一直在應用，LTCM基金也確實在過去三年多中賺了大錢。這次LTCM基金的失敗并非由于布萊克‐斯科爾斯理論不對，而是因為突發事件襲來時，市場變得很不平穩,原來的“平穩隨機過程"變成了“非穩隨機過程”。條件變了，原來的統計規律不再適用了。由此可見，突發事件可以使原本有效的統計規律在新的條件下失效。

突發實件的機制

研究突發事件首先必須弄清其機制。只有弄清了機制才能分析其前兆，研究預警的方法及因此之道。突發事件并不限于金融領域，也存在于自然界及技術領域中。而且各個不同領域中的突發事件具有一定的共性，按照其機制可大致分為以下兩大類。

“能量”積累型地震是典型的例子。地震的發生，是地殼中應力所積累的能量超過所能承受的臨界值后突然的釋放。積累的能量越多，地震的威力越大。此外，如火山爆發也屬于這一類型。如果將“能量”作廣義解釋，也可以推廣到社會經濟領域。泡沫經濟的破滅就可以看作是“能量“積累型，這里的“能量”就是被人為抬高的產業之虛假價值。這種虛假價值不斷積累，直至其經濟基礎無法承擔時，就會突然崩潰。積累的虛假價值越多，突發事件的威力就越大。日本泡沫經濟在1990年初崩潰后，至今已九年尚未恢復，其重要原因之一就是房地產所積累的虛假價值過分龐大之故。

“放大”型原子彈的爆發是典型的例子。在原子彈的裂變反應中，一個中子擊中鈾核使之分裂而釋放核能，同時放出二至傘個中子，這是一級反應。放出的中子再擊中鈾核產生二級反應，釋放更多的核能，放出更多的中子……。以此類推，釋放的核能及中子數均按反應級級數以指數放大，很快因起核爆炸。這是一種多級相聯的“級聯放大”，此外，放大電路中由于正反饋而造成的不穩定性，以及非線性系統的“張弛”震蕩等也屬于“放大”型。這里正反饋的作用等效于級聯。在社會、經濟及金融等領域中也有類似的情形，例如企業間達的連鎖債務就有可能導致“級聯放大”，即由于一家倒閉而引起一系列債主的相繼倒閉，甚至可能觸發金融市場的崩潰。這次LTCM基金的危機，如果不是美國政府及時介入，促使15家大銀行注入35億美元解困，就很可因LTCM基金倒閉而引起“級聯放大”，造成整個金融界的信用危機。金融界還有一種常用的術語，即所謂“杠桿作用”（leverage）。杠桿作用愿意為以小力產生大力，此處指以小錢控制大錢。這也屬于“放大”類型。例如LTCM基金不僅大量利用銀行貸款造成極高的“運用資金與資本之比”，而且還利用期貨交易到交割時才需付款的規定，大做買空賣空的無本交易，使其利用“杠桿作用”投資所涉及的資金高達10000億美元的天文數字。一旦出問題，這種突發事件的震撼力是驚人的。

金融突發事件之復雜性

金融突發事件要比自然界的或技術的突發事件復雜得多，其復雜性表現在以下幾個方面。

多因素性對金融突發事件而言，除了金融諸因素外，還涉及到政治、經濟、軍事、社會、心理等多種因素。LTCM事件的起因本為經濟因素--俄羅斯政府宣布推遲償還短期債券，而俄羅斯經濟在世界經濟中所占分額甚少，之所以能掀起如此巨大風波，是因為心理因素的“放大”作用：投資者突然感受到第二類債券的高風險，競相拋售，才造成波及全球的金融風暴?？梢娦睦硪蛩夭蝗莺鲆?，必須將其計及。

非線性影響金融突發事件的不僅有多種因素，而且各個因素之間一般具有錯綜復雜的相互作用，即為非線性的關系。例如，大戶的動作會影響到市場及散戶的行為。用數學語言說就是：多種因素共同作用所產生的結果，并不等于各個因素分別作用時結果的線性疊加。突發事件的理論模型必須包含非線性項，這種非線性理論處理起來要比線性理論復雜得多。

不確定性金融現象一般都帶有不確定性，而突發事件尤甚。如何處理這種不確定性是研究突發事件的關鍵之一。例如，1998年8月間俄羅斯經濟已瀕臨破產邊緣，幾乎可以確定某種事件將會發生，但對于投資者更具有實用價值的是：到底會發生什么事件？在何時發生？這些具有較大的不確定性。

由此可知，金融突發事件的機制不像自然界或技術領域中的那樣界限分明，往往具有綜合性。例如，1990年日本泡沫經濟的破滅，其機制固然是由于房地產等虛假價值的積累，但由此觸發的金融危機卻也包含著銀行等金融機構連鎖債務的級聯放大效應。預警方法

對沖基金之“對沖”，其目的就在于利用“對沖”來避險（有人將hedgefund譯為“避險基金”）。具有諷刺意義的是，原本設計為避險的基金，竟因突發事件而造成震撼金融界的高風險。華爾街的大型債券公司和銀行都設有“風險管理部”，斯科爾斯和默頓都是LTCM基金“風險管理委員會”的成員，對突發事件作出預警是他們的職責，但在這次他們竟都未能作出預警。

突發事件是“小概率”事件，基于傳統的平穩隨機過程的預測理論完全不適用。這只要看一個簡單的例子就可以明白。在高速公路公路上駕駛汽車，想對突然發生的機械故障做出預警以防止車禍，傳統的平穩隨機過程統計可能給出的信息是：每一百萬輛車在行駛過程中可能有三輛發生機械故障。這種統計規律雖然對保險公司制定保險率有用，但對預警根本無用。因為不知道你的車是否屬于這百萬分之三，就算知道是屬于這百萬分之三，你也不知道何時會發生故障。筆者認為，針對金融突發事件的上述特點，作預警應采用“多因素前兆法”。前面說過，在“能量”積累型的突發事件發生之前，必定有一個事先“能量”積累的過程；對“放大”型的突發事件而言，事先必定存在某種放大機制。因此在金融突發事件爆發之前，總有蛛絲馬跡的前兆。而且“能量”的積累越多，放大的倍數越高，前兆也就越明顯。采用這種方法對汽車之機械故障作出預警，應實時監測其機械系統的運行狀態，隨時發現溫度、噪音、振動，以及駕駛感覺等反常變化及時作出預警。當然，金融突發事件要比汽車機械故障復雜得多，影響的因素也多得多。為了作出預警，必須對多種因素進行實時監測，特別應當“能量”的積累是否已接近其“臨界點”，是否已存在“一觸即發”的放大機制等危險前兆。如能做到這些，金融突發事件的預警應該是可能的。要實現預警，困難也很大。其一是計及多種因素的困難。計及的因素越多，模型就越復雜。而且由于非線性效應數學處理就更為困難。計及多種因素的突發事件之數學模型，很可能超越現有計算機的處理能力。但計算機的發展一日千里，今天不能的，明天就有可能。是否可以先簡后繁、先易后難？不妨先計及最重要的一些因素，以后再根據計算機技術的進展逐步擴充。其二是定量化的困難。有些因素，比如心理因素，應如何定量化，就很值得研究。心理是大腦中的活動，直接定量極為困難，但間接定量還是可能的?？梢钥紤]采用“分類效用函數”來量化民眾的投資心理因素。為此，可以將投資者劃分為幾種不同的類型，如散戶和大戶，年輕的和年老的，保守型和冒險型等等，以便分別處理。然后，選用他們的一種典型投資行為作為代表其投資心理的“效用函數“，加以量化。這種方法如果運用得當，是可以在一定程度上定量地表示投資者的心理因素的。此外，盧卡斯（R.E.Lucas）的“理性預期”也是一種處理心理因素的方法。其三是報警靈敏度的困難。過分靈敏可能給出許多“狼來了”的虛警，欠靈敏則可能造成漏報。如何適當把握報警之“臨界值”？是否可以采用預警分級制和概率表示？

有些人根本懷疑對金融突發事件做預警的可能性。對此不妨這樣來討論：你相信不相信金融事件具有因果性？如果答案是肯定的，那么金融突發事件就不會憑空發生，就應該有前兆可尋，預警的可能性應該是存在的，那么金融學就不是一門科學，預警當然也就談不上了。筆者相信因果律是普遍存在的，金融領域也不例外。

篇2

本文有兩個互相關聯的目標：第一，對科學哲學對于數學哲學現展的重要影響作出綜合分析；第二，對新的研究與基礎主義的數學哲學進行比較，從而清楚地指明數學哲學現展的革命性質。

一、從一些具體的研究談起

如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數學哲學研究的黃金時代：在這一時期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數學基礎問題進行了系統和深入的研究，并發展起了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠影響的數學觀，從而為數學哲學的研究開拓出了一個嶄新的時代，其影響也遠遠超出了數學的范圍，特別是，基礎主義的數學哲學曾對維也納學派的科學哲學研究產生了十分重要的影響，而后者則曾在科學哲學的領域長期占據主導的地位。

然而，在四十年代以后，上述的情況發生了重要的變化。盡管邏輯主義等學派作出了極大的努力，他們的研究規劃卻都沒有能夠獲得成功，從而，在經歷了所說的“黃金時代”以后，數學哲學的發展就一度“進入了一個悲觀的、停滯的時期”；與數學哲學的困境相對照，科學哲學則已逐步擺脫邏輯實證主義的傳統進入了一個欣欣向榮的、新的發展時期。也正因為此，科學哲學的現展就對數學哲學家產生了巨大的吸引力，并對數學哲學的現展產生了十分重要的影響。

就科學哲學對于數學哲學現代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個先驅，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學哲學推廣應用到了數學的領域。盡管推廣和移植的工作是較為簡單的，但這仍然依賴于獨立的分析與深入的研究，因為在數學與一般自然（經驗）科學之間顯然存在有重要的質的區別。

為了使得由科學哲學中所吸取的觀念、概念、方法等確實有益于數學哲學的研究，最好的方法就是集中于相應的研究問題，也即是希望通過以科學哲學領域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數學哲學中的某些基本問題。例如，M.Hallett的論文“數學研究綱領方法論的發展”就以拉卡托斯的科學哲學理論，也即所謂的“科學研究綱領方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關注的則是數學的方法論問題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學研究綱領方法論相類似的數學發展的方法論準則”，Hallett的實際工作卻與拉卡托斯的科學哲學理論表現出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認識到：“數學與經驗科學之間的差異無疑是十分重要的”；“物理學可以依賴于不斷增加的事實性命題，但是數學中卻不存在這樣的對應物?！币虼耍贖allett看來，相應的科學方法論準則（即新的理論能作出某些預言，這些預言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數學的領域。

與上述的方法論原則相對照，Hallett提出，新的理論在解決非特設性的重要問題方面的成功可以被用作判斷數學進步的準則。Hallett并指出，這一準則即是對希爾伯特在先前所已明確提出的相應思想的一種改進。從而，這就確實不能被看成對于科學研究綱領方法論的直接推廣。

在數學哲學領域內我們并可看到一種不斷增長的自覺性，即是關于科學哲學領域中的思想或理論對于數學哲學“可應用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫恩的理論與數學：關于數學的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫恩的理論推廣應用到數學時，應當首先考慮兩個問題：第一，“在數學中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對數學編年史的研究是否有確定的、富有成果的應用？”

顯然，即使前一個問題可以說是一種直接的推廣或移植，后一問題的解答則依賴于更為深入的分析和獨立的研究，因為，這不僅涉及到了對庫恩理論的評價，而且也直接依賴于關于應當如何去從事數學哲學（和數學史）研究的基本思想。

正是從這樣的立場出發，Mehrtens提出：“盡管（數學中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機’的現象，我對這兩個概念持否定的態度，因為，它們并不能成為歷史研究的有利工具?！?/p>

當然，上述的結論并不意味著Mehrtens對庫恩的理論持完全否定的態度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫恩所提出的“范式”和“科學共同體”這兩個概念對于數學史（和數學哲學）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道：“圍繞著科學共同體的社會學概念具有很大的解釋力量——在我看來——它們為數學編年史提供了關鍵的概念。”

上述的批判態度和深入分析顯然表明了一種獨立研究的態度，從而，與簡單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進步。作為這種進步的又一實例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數學哲學研究。

一般地說，基切爾在數學哲學領域內的工作主要就是將庫恩的科學哲學理論推廣應用到了數學之中，特別是，基切爾不僅由庫恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關于科學活動社會—文化性質的分析等。另外，基切爾所主要關注的則是數學歷史發展的合理性問題。例如，正是從這一立場出發，基切爾首先考察了什么是數學變化的基本單位?；袪枌懙溃骸耙粋€首要的任務，就是應當以關于數學變化單位的更為精確的描述去取代關于‘數學知識狀況’的模糊說法。這一問題與關注科學知識增長的哲學家們所面臨的問題在形式上是互相平行的。我認為，在這兩種情形中，我們都應借助于一個多元體，也即由多種不同成分所組成的實踐（practice）的變化，來理解知識的增長。”

在基切爾看來，后者事實上也就是庫恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒有逐一地去尋找“范式”（或“專業質基”）的各個成分（如“符號的一般化”、“模型”、“價值觀”、“范例”等）在數學中的對應物，而是對“數學實踐（活動）”的具體內容作出了自己的獨立分析?；袪柼岢?，“我以為我們應當集中于數學實踐的變化，并把數學實踐看成是由以下五個成分所組成的：語言，所接受的命題，所接受的推理，被認為是重要的問題，和元數學觀念。”顯然，這即是對庫恩基本思想的創造性應用。

其次，基切爾又具體地指明了若干個這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數學實踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫恩之間所存在的一個重要區別：盡管前者從庫恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫恩那樣的非理性主義立場。這一轉變當然也是批判性的立場和獨立思考的直接結果。

二、新方向上研究的共同特征

盡管在新方向上工作的數學哲學家有著不同的研究背景和工作重點，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說，這些工作又有著明顯的共同點，后者事實上更為清楚地表明了來自科學哲學的重要影響。

1.對于數學經驗性和擬經驗性的肯定

所謂數學的經驗性，就其原始的意義而言，即是對數學與其它自然科學同一性（analogy，或similarity）的確認。這一認識事實上構成新方向上所有工作的共同出發點。

關于數學經驗性的斷言顯然正是對于傳統觀念的直接否定，即數學知識不應被看成無可懷疑的絕對真理，數學的發展也并非數學真理在數量上的簡單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數學從柏拉圖所置于的寶座上拉下來了?！?/p>

事實上，人們曾從各種不同的角度對數學與自然科學的同一性進行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認識論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結構的同一性”，等等。另外，在筆者看來，對于經驗性的肯定事實上也可被看成關于數學的社會—文化觀念（這是在新方向上工作的數學哲學家所普遍接受的）的一個直接結論。這就是說，如果數學與其它自然科學一樣，最終都應被看成人類的一種創造性活動，并構成了整個人類文化的一個有機組成成分，那么，數學的發展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復雜過程，而且，“數學的內涵與改變最終是由我們的實際利益與其它科學的認識論目標所決定的?！?/p>

其次，如果說數學的經驗性集中地反映了數學與其它自然科學的同一性，那么，對于數學擬經驗性（quasi-empirical）的強調則就突出地表明了數學的特殊性。

具體地說，我們在此所涉及的主要是這樣一個問題：除去在實際活動中的成功應用外，就數學理論而言，是否還存在其它的判斷標準？另外，擬經驗的數學觀的核心就在于明確肯定了數學有自己特殊的價值標準，這就是新的研究工作對于數學自身的意義，即如其是否有利于已有問題的解決或方法的改進等。顯然，后者事實上也就是實際數學工作者真實態度的一個直接反映。例如，美國著名數學家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫道：“數學各個領域中的進步包括兩個互補的方面：重要問題的解決以及對于所獲得結果的理解?！?/p>

由此可見，我們就應同時肯定數學的經驗性和擬經驗性。顯然，就本文的論題而言，這事實上也就表明了：為了在數學哲學的研究中取得實質性的進展，我們不僅應當保持頭腦的開放性，也即應當努力從科學哲學中吸取更多有益的思想、概念和問題，同時也應高度重視數學的特殊性，即在一定程度上保持數學哲學的相對獨立性。

2.對于數學方法論的高度重視

理性主義與非理性主義的長期爭論無疑是科學哲學現展的一個重要特點；與此相對照，理性主義的立場在數學哲學領域中卻似乎沒有受到嚴重的挑戰，但是，后者并不意味著現已存在某種為人們所普遍接受的關于數學發展合理性的理論，恰恰相反，后一目標的實現還有待于長期的努力。

然而，在這一方面確已取得了一定的進步，特別是，相對于早期的簡單“移植”而言，現今人們普遍地更加重視對那些源自科學哲學的概念、觀點和理論的分析和批判。例如，就庫恩的影響而言，人們現已認識到，對于數學的社會—文化性質的確認，并不意味著我們必須采取相對主義或非理性主義的立場；另外，在肯定數學歷史發展合理性的同時，人們也認識到了這種發展并不能簡單地被納入某一特定的模式。事實上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會化建構的，……即包括有一個社會協商的過程?！睆亩诖怂枰木褪且环N辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場出發，格拉斯提出，我們應對庫恩和拉卡托斯的理論進行整合：“拉卡托斯的方法論立場至少應當用像庫恩那樣的社會和歷史的觀點予以補充和平衡。”

值得指出的是，這種整合的立場事實上也就是科學哲學現展的一個重要特點，特別是，這即是科學哲學領域中所謂的“新歷史主義學派”所采取的一個基本立場：他們對先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評的立場，并希望能通過對立理論的整合發展出關于科學發展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學哲學對于數學哲學現代研究的重要影響。

艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫道：“……數學哲學應當關注與那些研究人類知識其它領域（特別是，自然科學）同一類型的問題。例如，哲學家們應當考慮這樣的問題：數學知識是如何增長的？什么是數學進步？是什么使得某一數學觀點（或理論）優于其它的觀點（或理論）？什么是數學解釋？”特別是，“數學在其發展中是否遵循任何方法論的原則？”事實上，在艾斯帕瑞和基切爾看來，如何對數學方法論作出恰當的說明就構成了在新方向上工作的數學哲學家的核心問題。顯然，這一立場也是與現代科學哲學中對于科學方法論的高度重視完全一致的。

3.對于數學史的強調

如眾所知，對于科學史的突出強調也是科學哲學現代研究的一個重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫恩以前，科學哲學長期為邏輯實證主義所支配，后者認為科學史是與他們的研究毫不相關的；但是，這種形勢現在已經有了改變……科學哲學家們現已認識到了歷史研究的重要性。”這就是說，“如果沒有給予科學史應有的重視，科學性質的分析就是不可能的。”科學哲學的上述變化對在新方向上工作的數學哲學家也產生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據了十分重要的位置?？梢哉f歷史方法事實上已成為數學哲學現代研究的基本方法之一。

作為一種自覺的努力，我們在此還可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。

這些編輯者的一個共同特點是，他們不僅認為數學方法論的任一理論都應用歷史的案例加以檢驗，而且更大力提倡數學史家與數學哲學家的密切合作，并認為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個信念，即數學哲學的重要論題可以由哲學家與歷史學家的有組織對話得到啟示?！覀兿Ｍ麣v史的材料能在數學哲學家那里獲得更為深入和系統的應用；同樣地，我們也希望哲學家由歷史所激發的思考能給歷史學家提供新的問題和思想?！憋@然，這種態度與傳統的把數學哲學與數學史絕對地分割開來的作法是截然相反的。

最后，我們在此還可提及所謂的“奠基于數學史之上的數學哲學”。具體地說，相關的數學哲學家在此所希望的就是能發展出關于數學知識的這樣一種理論，它能正確地反映數學的歷史發展，即“現代的數學知識是由初始的狀態經由一系列的合理轉變得以形成的”（基切爾語）。顯然，按照這樣的觀點，數學史對于數學哲學的重要性就得到了進一步的強化：正是前者為數學哲學的研究提供了基本的素材和最終的檢驗。這也就是說，“數學史對于數學哲學來說，不僅不是無關的，并事實上占有核心的地位。”

4.實際數學工作者的“活的哲學”

應當指出，對于數學史的高度重視不僅直接涉及到了數學方法論的研究，而且也標志著數學哲學研究立場的重要轉變。在新方向上工作的數學哲學家們幾乎一致地認為，實際的數學活動應當成為數學哲學理論研究的出發點和最終依據?！罢軐W沒有任何理由可以繼續無視實際的數學活動。事實上，正是這種實踐應當為數學哲學提供問題及其解決所需要的素材?！?/p>

當然，上述的轉變直接反映了實際數學工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數學哲學應當建立在對于這一領域（按指數學）中所實際發生的一切的仔細觀察之上。”

最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對數學方法論研究的意義進行了分析。他們這樣寫道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學家就可以此為依據對實際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發現這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對于方法論的偏離。另外，數學家們則可能會發現以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領域是如何由過去的數學演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發揮了特別重要的作用。并非言過其實的是，這些答案……—還可能對數學家關于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭論起到一定的啟發作用?！憋@然，這一認識與現代科學哲學中對于方法論的強調是完全一致的。

三、數學哲學的革命

從整體上說，與先前的基礎主義數學哲學相比，新方向上的研究無論就基本的數學觀，或是就研究問題、研究方法和基本的研究立場而言，都已發生了十分重要的變化。我們就可以說，數學哲學已經歷了一場深刻的革命。

1.研究立場的轉移，即由與實際數學活動的嚴重分離轉移到了與它的密切結合。

由于深深地沉溺于對已有的數學理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學派在基礎研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場，即都認為應當對已有的數學理論和方法進行嚴格的批判或審查，并通過改造或重建以徹底解決數學的可靠性問題。從而，基礎主義的數學哲學主要地就是一種規范性的研究，而也正因為此，基礎研究在整體上就暴露出了嚴重脫離實際數學活動的弊病。

與此相對照，在新方向上工作的數學哲學家普遍采取了相反的立場，即是認為數學哲學應當成為實際數學工作者的“活的哲學”，也即應當“真實地反映當我們使用、講授、發現或發明數學時所作的事”（赫斯語）。顯然，基本立場的上述轉移事實上也就意味著數學哲學性質的重要改變：這已不再是實際數學工作者所必須遵循的某些先驗的、絕對的教條。

2.對于數學史的高度重視。

由于邏輯主義等學派所關注的主要是數學的邏輯重建，因此，在這些學派看來，數學的真實歷史就不具有任何的重要性，或者說即是與數學的哲學分析完全不相干的，而數學哲學家所唯一應當重視的則就是邏輯分析的方法。

與基礎主義者的上述作法相對立，在新方向上工作的數學哲學家則普遍地對數學史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對于數學活動的歷史和社會層面的關注清楚地表明了‘新’的數學哲學與傳統的新弗雷格主義傾向的區別，而后者在本世紀前半葉曾在這一學科中占據支配的地位?！憋@然，這事實上也就可以被看成上述的基本立場的一個直接表現。

更為一般地說，人們并逐步確立了這樣的認識：“沒有數學史的數學哲學是空洞的；沒有數學哲學的數學史是盲目的。”（拉卡托斯語）這不僅標志著方法論的重要變革，而且也為深入開展數學哲學（和數學史）的研究指明了努力的方向。

3.研究問題的轉移。

由于對已有的數學理論和方法可靠性的極大憂慮構成了邏輯主義等學派的基礎研究工作的共同出發點，因此，基礎主義的數學哲學主要地就是圍繞所謂的“數學基礎問題”展開的。這也就是指：如何為數學奠定可靠的基礎，從而徹底地解決數學的可靠性問題？

與此相對照，現代的數學哲學家一般不再關心數學的可靠性問題，而這事實上也就是數學工作者實際態度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數學哲學研究的一個明顯和無可辯駁的出發點，即人們具有一定的數學知識，這些數學知識并已獲得了證實，從而就是可靠的。

對于力圖為實際數學工作者建立“活的哲學”的數學哲學家來說，數學哲學研究的核心問題無疑就在于：如何對數學（活動）作出合理的解釋？托瑪茲克說：“數學哲學始于這樣的思考，即是如何為數學提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數學本質特性并對人們如何能夠從事數學活動作出解釋的綜合觀點?！憋@然，這也就表明了，方法論的問題何以會在數學哲學的現代研究中占據特別重要的位置。

4.動態的、經驗和擬經驗的數學觀對于靜態的、絕對主義的數學觀的取代。

盡管邏輯主義等學派對什么是數學的最終基礎有著不同的看法，但是，從總體上說，他們所體現的又都可以說是一種靜態的、絕對主義的數學觀，因為，他們都希望能通過自己的工作為數學奠定一個“永恒的、可靠的基礎”，這樣，數學的進一步發展也就可以被看成無可懷疑的真理在數量上的單純積累。

如果說靜態的、絕對主義的數學觀在基礎主義的數學哲學中占據了主導的地位，那么，由于把著眼點轉移到了實際的數學活動，人們現已不再把數學的發展看成是無可懷疑的真理在數量上的簡單積累；與此相反，作為人類的一種創造性活動，數學發展顯然是一個包含有猜測、錯誤和嘗試、證明和反駁、檢驗與改進的復雜過程，并依賴于個體與群體的共同努力。從而，這種動態的、經驗和擬經驗的數學觀就已逐漸取代傳統的靜態的和絕對主義的數學觀在這一領域中占據了主導的地位。

綜上可見，相對于基礎主義而言，現代的數學哲學無論就研究問題、研究方法，或是就研究的基本立場和主要觀念而言，都已發生了質的變化。因而，我們可以明確地斷言：在數學哲學的現展中已經發生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來自科學哲學的影響有著十分緊密的聯系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對于數學哲學現展的特殊重要性。

【參考文獻】

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2.H.Mehrtens,"T.Kuhn''''sTheoriesandMathematics:aDiscussionpaperonthe‘NewHistoriography’ofMathematics",inHistoriaMathematica,3[1976],p.301,305,312

篇3

二、“開門造車”，注重方法

在學習方法方面，女生比較注重基礎，學習較扎實，喜歡做基礎題，但解綜合題的能力較差，更不愿解難題；女生上課記筆記，復習時喜歡看課本和筆記，但忽視上課聽講和能力訓練；女生注重條理化和規范化，按部就班，但適應性和創新意識較差．因此，教師要指導女生“開門造車”，讓她們暴露學習中的問題，有針對地指導聽課，強化雙基訓練，對綜合能力要求較高的問題，指導她們學會利用等價轉換、類比、化歸等數學思想，將問題轉化為若干基礎問題，還可以組織她們學習他人成功的經驗，改進學習方法，逐步提高能力．

三、“笨鳥先飛”，強化預習

女生受生理、心理等因素影響，對知識的理解、應用能力相對要差一些，對問題的反應速度也慢一些．因此，要提高課堂學習過程中的數學能力，課前的預習至關重要．教學中，要有針對性地指導女生課前的預習，可以編制預習提綱，對抽象的概念、邏輯性較強的推理、空間想象能力及數形結合能力要求較高的內容，要求通過預習有一定的了解，便于聽課時有的放矢，易于突破難點．認真預習，還可以改變心理狀態，變被動學習為主動參與．因此，要求女生強化課前預習，“笨鳥先飛”．

四、“固本扶元”，落實“雙基”

女生數學能力差，主要表現在對基本技能的理解、掌握和應用上．只有在鞏固基礎知識和掌握基本技能的前提下，才能提高女生的綜合能力．因此，教師要加強對舊知識的復習和基本技能的訓練，結合講授新課組織復習；也可以通過基礎知識的訓練，使學生對已學的知識進行鞏固和提高，使他們具備學習新知識所必需的基本能力，從而對新知識的學習和掌握起到促進作用．

五、“揚長補短”，增加自信

篇4

這是一種進行綜合、概括的思維形式。如上例，教師亦可以用幾種不同的敘述方法提出幾個問題，讓學生歸納出16—10的算式來。此外，還可以通過一些異中有同的習題來訓練學生的抽象概括思維能力。如：

①甲乙兩人接到加工54只零件任務，甲每天加工10只，乙每天加工8只，幾天后完成任務？

②一件工程，甲獨做10天完成，乙獨做15天完成，兩人合作幾天完成？

像這些形異質同的問題，要引導學生自己總結出：工作總量÷工作效率=工作時間。只有這樣，學生才能以不變應萬變，解一題會多題，可以起到減輕學生負擔的作用。

3.遞進型

這是一種屬于邏輯判斷、推理的思維形式。例如，教師在講授“已知一個數的百分之幾是多少，求這個數?！币活愵}時，叮以引導學生用已掌握的“已知一個數幾倍是多少，求這個數”的解題規律去進行邏輯推理，讓學生自己發現新出現的百分數應用題的解題規律。教師不要越俎代皰，否則吃力不討好，反而妨礙了學生思維能力的提高。

4.逆反型

這是一種敢于和善于突破習慣性思維束縛的反向思維形式。在數學教學中，可供訓練的材料比比皆是，如加減、乘除、通分約分、正反比例等，問題是教師如何善于運用它。如教驗算時，16-10=6，學生習慣地用16-6=10來驗算，這時教師可啟發學生用6＋10=16來驗算。經過訓練，學生便可知道用加法驗算減法、用減法驗算加法、用乘法驗算除法、用除法驗算乘法了。

5.激化型

這是一種跳躍性、活潑性、轉移性很強的思維形式。教師可通過速問速答來訓練練學生。如問：3個5相加是多少？學生答：5＋5＋5=15或5×3=15。教師又問：3個5相乘是多少？學生答：5×5×5=125。緊接著問：3與5相乘是多少？學上答：3×5=15，或5×3=15。通過這樣的速問速答的訓練，發現學生思維越來越活躍，越來越靈活，越來越準確。

6.類比型

這是一種對并列事物相似性的個同實質進行識別的思維形式。這項訓練可以培養學生思維的準確性。如：

①金湖糧店運來大米6噸。比運來的面粉少1/4噸、運來面粉多少噸？

②金湖糧店運來大米6噸，比運來的面粉少1/4，運來面粉多少噸？

以上兩題，雖然相似，實質不同，一字之差，解法全異，可以點撥學生自己辨析。通過訓練，學生今后碰到類似的問題便會仔細推敲，這樣就大大地提高了解題的準確性。

7.轉化型

這是解決問題遇到障礙受阻時把問題由一種形式轉換成另一種形式，使問題變得更簡單、更清楚，以利解決的思維形式。在教學中，通過該項訓練，可以大幅度地提高學生解題能力。如：某一賣魚者規定，凡買魚的人必須買筐中魚的一半再加半條。照這樣賣法，4人買了后，筐中魚盡，問筐中原有魚多少條？該題對一些沒有受過轉化思維訓練的學生來說，會感到一籌莫展。即使基礎較好的學生也只能復雜的方程。

但經過轉化思維訓練后，學生就變得聰明起來了，他們知道把買魚人轉換成1人，顯然魚1條；然后轉換成2人，則魚有3條；再3人，則7條；再4人，則15條。

8.系統型

篇5

例2(湖北荊門市)用四個全等的矩形和一個小正方形拼成如圖3所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,若用x，y表示矩形的長和寬(x＞y)，則下列關系式中不正確的是()

(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．

解析觀察拼圖3可發現:大正方形的邊長是矩形的長和寬之和；小正方形的邊長是矩形的長和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長是12,即x+y=12①；由小正方形的邊長是4可知其邊長是2,即x-y=2②,因此選項A和B的關系式均正確.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案為選擇D.

點評例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應原型的，這里改編成中考試題可謂老樹發新枝。事實上學生若能認真觀察圖形的本身特點進而找到相應數量關系，準確解答并不是件難事。

2與多邊形、圓相結合,注重考察學生對幾何性質的綜合運用.

例3(陜西省)如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關系是．

解析此題中所求三個正方形的面積S1、S2、S3之間的關系實質是求梯形ABCD的兩個腰長及上底邊邊長

三者的平方關系.可利用梯形的高來建立橋梁

作用.如圖5，分別過點

A、B做AEDC,BFDC,

垂足分別為E、F.設

梯形ABCD的高為h,

AB=a,DE=x,則DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可證得AED∽CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.

例4(江蘇南通市)在一次數學探究性學習活動中，某學習小組要制作一個圓錐體模型，操作規則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側面時，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設計了如圖6所示的方案一，發現這種方案不可行，于是他們調整了扇形和圓的半徑，設計了如圖7所示的方案二．（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）

（1）請說明方案一不可行的理由；

（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由．

解析(1)因為扇形ABC的弧長＝×16×2π＝8π，因此圓的半徑應為4cm．由于所給正方形紙片的對角線長為cm，而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為cm，由于，所以方案一不可行．

(2)設圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，則①,②,由①②，可解得，．故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm．

點評將正方形與多邊形、圓結合是中考中出現頻率較高的題目。此類題目涉及知識點較多，跨度較大，需要學生具有較為扎實的基本功，具有綜合運用相關數學知識的能力。

3與“動點問題”相結合,注重考察學生對不變因素的探究能力.

例5(湖北武漢市)正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PFCD于點F。如圖8，當點P與點O重合時，顯然有DF＝CF．

(1)如圖9，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PEPB且PE交CD于點E.

①求證：DF＝EF；

②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系，并證明你的結論；

(2)若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點E。請完成圖10并判斷(1)中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論（所寫結論均不必證明）

解析(1)①如圖11過點P做PHBC,垂足為點H,連接PD.此時四邊形PFCH為正方形.容易證出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC，進一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因為PEDC,可證得DF=FE.

②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因為PF∥AD,有,將DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.

(2)連接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分別為F、H,在DC延長線上取一點E,使得PEPB.此時有結論①DF=EF成立.而結論②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC關系.證明與②類似,略.

點評動點問題是中考熱點問題之一，它要求學生善于抓住運動變化的規律性和不變因素，把握運動與靜止的辨證關系.例5中,無論動點P在線段AC上如何運動,∠BPE是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.

4與對稱、旋轉相結合,注重考察學生變換的數學思想.

例6（重慶市）如圖13，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合.展開后，折痕DE分別交AB、AC于點E、G，.連接GF.下列結論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正確結論的序號是.

解析由題意可知AED和FED關于ED所在的直線對稱,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.則∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,則AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四邊形AEFG是菱形.設AE=k,容易證得EFB和OGF均是等腰直角三角形，則EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正確的結論是①、④、⑤，其余結論顯然不成立。

例7（黑龍江齊齊哈爾市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB,DC（或它們的延長線）于點M,N．當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖14），易證BM+DN=MN．

（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖15），線段BM,ND和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．

（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖16的位置時，線段BM,ND和MN之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．

解析(1)如圖17，把AND繞點A順時針90°，得到ABE，則有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.進而可證得：AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.

(2)線段BM,ND和MN之間存在MN=DN－MB.

點評平移、翻折和旋轉是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對應的邊、角均相等.巧妙的運用變換的基本性質或構造變換圖形，均可以使題目的解答簡易而順暢.

5與函數圖象相結合,注重考察學生的數形結合思想.

例8（湖南長沙市）在平面直角坐標系中，一動點P（x，y）從M（1，0）出發，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四點組成的正方形邊線（如圖18）按一定方向運動。圖19是P點運動的路程s（個單位）與運動時間（秒）之間的函數圖象，圖20是P點的縱坐標y與P點運動的路程s之間的函數圖象的一部分.

（1）s與t之間的函數關系式是：；

（2）與圖20相對應的P點的運動路徑是：；P點出發秒首次到達點B；

（3）寫出當3≤s≤8時，y與s之間的函數關系式，并在圖16中補全函數圖象.

解析（1）圖19是正比例函數圖象，易求得s與t之間的函數關系式為：S=(t≥0)

（2）從圖20的函數圖象可以看出，動點P的縱y在運動時隨時間t的增大開始時逐漸增大，而后又不變，最后又減小至0，說明P點在正方形的運動路徑是：MDAN.由圖18、19可知，P點從點M運動到點B的路程為5，速度為0.5，所以首次到達點B需要時間為10秒.

(3)結合圖18和圖20，分析可得，第1秒之前，動點P從點M向點D處運動；第1至3秒時，動點P從點D向點A處運動；第3至5秒時，動點P從點A向點B處運動；第5至7秒時，動點P從點B向點C處運動；第7至8秒時，動點P從點C向點M處運動.時間段不同，函數關系不同，因此列分段函數為：當3≤s＜5，y=4－s；當5≤s＜7，y=－1；當7≤s≤8，y=s－8．補全的函數圖象如圖21.

點評函數圖象問題是數形結合的數學思想的重要體現，在中考試卷中也往往作為具有一定區分度的題目出現。例8是一個分段函數問題，其關鍵是依據函數圖象弄清楚點P在正方形ABCD上的哪一段運動,坐標與時間、路程如何變化.

6與實際問題相結合,注重考察學生構建數學模型的能力.

例9（湖北荊門市）某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖21所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖22所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．

(1)判斷圖22中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；

(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？

篇6

2．充分體現數學的基礎工具性。

是人們進行交流的工具。數學的符號、圖象、術語和表格是一種專門性的科學語言，這是信息交流中必不可少的語言。數學課程應當讓學生掌握這種科學語言，并運用它去理解和表達思想，運用它儲存和傳遞信息。

3．突出數學在實際中的應用。

生活中、生產中和市場流通中所遇到的數學問題的能力，小學數學課程應精選出最具有實用價值、最基礎的知識作為教學內容。

教學方向大眾化

近年來，國際數學教育界提出“大眾數學”、“人人都要學會的數學”等口號?！按蟊姅祵W”主要針對以前數學太難、太深、要求太高，只有少數學生能學好，大多數學生望而生畏，對數學產生冷漠、恐懼、討厭的狀況而提出來的。其含義有兩層：一是數學要為大眾所掌握；二是大眾所需要的數學，要為大眾所利用。事實上，我國義務教育階段所規定的數學課程內容應當是人人都能學，人人都需要學的。

人類社會發展到今天，已使數學從神秘走向現實，從書齋走向社會，從學者走向大眾，21世紀的數學課程，應該使所有的學生都能學好，學得主動、生動活潑。

教學方法自主化

近十幾年來，各種新教法不斷產生和引進，如發現教學、嘗試教學、愉快教學、情境教學等已被越來越多的教師所接受，但從總體而言，當前小學數學的教學基本模式，仍然是僅僅著眼于學生數學知識的增長和積累，滿足于學生對知識的機械記憶和學會模仿解題。

灌輸式的教學模式已沿襲了千百年，有著極大的慣性。有些課，看上去有了啟發提問、課中游戲、學具操作等，顯得熱熱鬧鬧，但還是按照教師預先設計的框框在運行，學生仍處于被動接受的地位。

新世紀的數學教育，在教學方法上應該有所突破，關鍵在于真正做到自主化。

所謂自主化，簡單他說，是在教師指導下，要求學生主動參與，充分體現學生的主體地位。學習過程是學生在一定的條件下對客觀事物的反映過程，是一個主動的建構過程，作為認識對象的知識并不像實物一樣，可以由教師簡單地傳遞給學生，必須靠學生自己來建構，并且納入他自己原有的知識結構中，別人是無法代替的。數學教學主要是思維活動的教學，教師應要求學生主動參與，讓學生自由地思考，鼓勵學生發表自己的看法，勇于提出猜想，質疑問難，培養學生的創造精神。

課堂結構高效化

教改的關鍵是教師，教改的核心在課堂，課堂教學是教學的基本形式，它是教學工作的中心環節，其他如課外活動、個別輔導、家庭作業等僅是教學的輔助形式，是課堂教學的補充和延續。因此，教改的重點應該放在提高課堂教學效率上。

新世紀的數學教育，必須把提高課堂教學效率作為教改的首要問題，向課堂教學時間要質量，向教育科學和教學方法要質量。用加重學生課業負擔，犧牲學生的健康來提高教學質量的做法是絕對不可取的，也是不允許的。

課堂結構高效化并不一定是大容量、快節奏和高要求，衡量課堂結構達到高效化有五個主要因素：學生主動、積極的參與程度；學生掌握知識、能力和方法的水平，學生當堂練習的數量和質量；課堂信息反饋暢通的程度，能否做到及時反愧及時調節；充分有效地利用教學時間。

基本訓練序列化

小學數學教育中的一條成功經驗是加強雙基（基礎知識教學、基本能力訓練），使小學生打好扎實的知識基礎，有良好的數學基本功。

多年的教學實踐證明，什么時候加強雙基，教學質量就提高；什么時候削弱雙基，教學質量就下降。從第二次國際教育成就評價課題測試結果看，在參加的2l個國家或地區中，我國小學數學成績名列第一，表明我國小學生有扎實的數學基本功。

新世紀的小學數學教育，應該繼承和發展我國抓雙基的成功經驗，為了加強基本能力的訓練，必須先解決基本訓練的規范化、序列化、科學化問題，其中關鍵的問題是序列化。首先應確定哪些是基本訓練的內容，然后根據各年級的教學要求，由淺入深地安排，形成一個符合小學數學特點和兒童年齡特點的基本訓練序列，使基本訓練走上科學化的道路。

教學手段多樣化

傳統的數學教育，從概念到概念，教師靠粉筆和黑板講解，學生靠筆和紙學習。這種落后的辦法沿襲了幾百年。

新世紀的數學教育必須采用新技術使教學手段現代化和多樣化。小學數學的教學手段主要有教具、學具、電教手段以及計算機輔助教學手段等。

小學數學教學中使用教具有重要作用：為學生提供數學模型和豐富感性認識；幫助學生理解抽象的數學概念和潔則；有助于發展學生的抽象思維能力；有利于節省課堂教學時間，減輕學生過重課業負擔。因此，應該積極開展研制工作，為學校配置全套數學教具。

教師有教具，學生應該有學具，教師演示教具，學生看得見，摸不著，有一定的局限性。教學中，讓學生動手操作學具，一邊操作，一邊思考，可以促使學生積極參與教學過程，加深對知識的理解和掌握，有利于思維品質的發展。因此，應該抓緊對小學數學學具的研制和開發，通過試驗，逐步推廣使用。

電教手段和計算機輔助教學手段在21世紀數學教育中將被廣泛應用，目前也應抓緊研究開發，并注意規范、系統，逐步積累經驗和推廣應用。

計算工具電子化

21世紀的數學教育，必將從原始的紙筆計算轉到使用計算器和計算機，這是新技術發展的必然趨勢。關于計算器是否適合小學生使用，國際上曾有三派意見第一派主張小學生可以使用計算器。理由是：①適應時展的需要，社會上已普遍使用計算器，小學生學會使用計算器是一種必要的能力；②可以減輕學生的計算負擔，使學生把主要精力放在理解概念和進行推理思考上；③有助于激發學生學習數學的興趣。

第二派主張禁止小學生使用計算器。理由是：學生會依賴計算器，造成學生計算能力低下。

第三派是既不反對又不主張，采取等待觀望態度。

經過多年的爭論和實踐，目前已逐步趨向一致意見：計算器必須進入小學數學課堂。各國在做法上有所不同，有的從一年級就開始使用；有的在低、中年級不用，到高年級開始使用。我贊成后一種做法，在低、中年級不允許使用計算器，可以使學生集中精力學好練好基本的計算技巧，養成一定的口算、筆算能力。到高年級允許學生使用計算器，有助于學生解決比較復雜的數學計算，減輕負擔，把主要精力放在思維活動方面。

考試方法標準化

減輕學生的過重課業負擔問題已經強調了多少年，社會各界人士大聲疾呼，教育行政部門也三令五申，為什么學生的過重課業負擔始終降不下來，這不能不引起大家的深思。

追究原因，有的責怪教師，片面追求升學率；有的埋怨出版社，濫編復習資料、練習冊。我認為這些不是主要原因，主要原因在于考試命題超大綱、超教材，要求過高，題目又多又難。

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一．關于研究性學習

（一）研究性學習

研究性學習是學生在老師指導下，在學科領域或現實生活情境中，通過學生自主探究式的學習研究活動，在攝取已有知識或經驗的基礎上，經過同化、組合和探究，獲得新的知識、能力和態度，發展創新素質的一種學習方式。研究性學習與社會實踐、社區服務、勞動技術教育共同構成“綜合實踐活動”，作為必修課程列入《全日制普通高級中學課程計劃。

實施以培養創新精神和實踐能力為重點的素質教育，關鍵是改變教師的教學方式和學生的學習方式。設置研究性學習的目的在于改變學生以單純地接受教師傳授知識為主的學習方式，為學生構建開放的學習環境，提供多渠道獲取知識、并將學到的知識加以綜合應用于實踐的機會，培養創新精神和實踐能力。當前，受傳統學科教學目標、內容、時間和教學方式的局限，在學科教學中普遍地實施研究性學習尚有一定的困難。因此，將研究性學習作為一項特別設立的教學活動作為必修課納入《全日制普通高級中學課程計劃(試驗修訂稿)》，這將會逐步推進研究性學習的開展，并從制度上保障這一活動的深化，滿足學生在開放性的現實情境中主動探索研究、獲得親身體驗、培養解決實際問題能力的需要。

（二）研究性學習的特點

研究性學習具有開放性、探究性和實踐性的特點，是師生共同探索新知的學習過程，是師生圍繞著解決問題共同完成研究內容的確定、方法的選擇以及為解決問題相互合作和交流的過程。

1．開放性

研究性學習的內容不是特定的知識體系，而是來源于學生的學習生活和社會生活，立足于研究、解決學生關注的一些社會問題或其他問題，涉及的范圍很廣泛。它可能是某學科的，也可能是多學科綜合、交叉的;可能偏重于實踐方法，也可能偏重于理論研究方面。

在同一主題下，由于個人興趣、經驗和研究活動的需要不同，研究視角的確定、研究目標的定位、切人口的選擇、研究過程的設計、研究方法、手段的運用以及結果的表達等可以各不相同，具有很大的靈活性，為學習者、指導者發揮個性特長和才能提供了廣闊的空間，從而形成一個開放的學習過程。

研究性學習，要求學生在確定課題后，通過媒體、網絡、書刊等渠道，收集信息，加以篩選，開展社會調研，選用合理的研究方法，得出自己的結論，從而培養了學生的創新意識、科學精神和實踐能力，它的最大特點是教學的開放性。

（1）教學內容是開放的。天文地理、古今中外，只要是學生感興趣的題目，并有一定的可行性，都可作為研究課題。

（2）教學空間是開放的。強調理論聯系實際，強調活動、體驗的作用。學習地點不再限于教室、實驗室和圖書館，要走出校門進行社會實踐；實地勘察取證、走訪專家、收集信息等等。

（3）學習方法、思維方式是開放的。針對不同目標，選擇與之適應的學習形式，如問題探討、課題設計、實驗操作、社會調查等。要綜合運用多門學科知識，分析問題、解決問題的能力增強了，思維方式從平面到立體，從單一到多元，從靜態發展到動態，從被動發展到主動，從封閉到開放。

（4）收集信息的渠道是開放的。不是單純從課本和參考書獲取信息，而是從講座、因特網、媒體、人際交流等各種渠道收集信息。

（5）師生關系是開放的。學生在研究中始終處于主動的地位，教師扮演著知道者、合作者、服務者的角色。提倡師生的辯論，鼓勵學生敢于否定。

2．探究性

在研究性學習過程中，學習的內容是在教師的指導下，學生自主確定的研究課題:學習的方式不是被動地記憶、理解教師傳授的知識，而是敏銳地發現問題，主動地提出問題，積極地尋求解決問題的方法，探求結論的自主學習的過程。因此，研究性學習的課題，不宜由教師指定某個材料讓學生理解、記憶，而應引導、歸納、呈現一些需要學習、探究的問題。這個問題可以由展示一個案例、介紹某些背景或創設一種情景引出，也可以直接提出?？梢宰越處熖岢觯部梢砸龑W生自己發現和提出。要鼓勵學生自主探究解決問題的方法并自己得出結論。

3．實踐性

研究性學習強調理論與社會、科學和生活實際的聯系，特別關注環境問題、現代科技對當代生活的影響以及社會發展密切相關的重大問題。要引導學生關注現實生活，親身參與社會實踐性活動。同時研究性學習的設計與實施應為學生參與社會實踐活動提供條件和可能。

（三）研究性學習的目標

研究性學習強調對所學知識、技能的實際運用，注重學習的過程和學生的實踐與體驗。需要注重以下幾項具體目標:

1．獲取親身參與研究探索的體驗

研究性學習強調學生通過自主參與類似于科學研究的學習活動，獲得親身體驗，逐步形成善于質疑、樂于探究、勤于動手、努力求知的積極態度，產生積極情感，激發他們探索、創新的欲望。

2．培養發現問題和解決問題的能力

研究位學習通常圍繞一個需要解決的實際問題展開。在學習的過程中，通過引導和鼓勵學生自主地發現和提出問題，設計解決問題的方案，收集和分析資料，調查研究，得出結論并進行成果交流活動，引導學生應用已有的知識與經驗，學習和掌握一些科學的研究方法，培養發現問題和解決問題的能力。

3．培養收集、分析和利用信息的能力

研究性學習是一個開放的學習過程。在學習中，培養學生圍繞研究主題主動收集、加工處理和利用信息的能力是非常重要的。通過研究性學習，要幫助學生學會利用多種有效手段、通過多種途徑獲取信息，學會整理與歸納信息，學會判斷和識別信息的價值，并恰當的利用信息，以培養收集、分析和利用信息的能力。

4．學會分享與合作

合作的意識和能力，是現代人所應具備的基本素質。研究位學習的開展將努力創設有利于人際溝通與合作的教育環境，使學生學會交流和分享研究的信息、創意及成果，發展樂于合作的團隊精神。

5．培養科學態度和科學道德

在研究性學習的過程中，學生要認真、踏實的探究，實事求是地獲得結論，尊重他人想法和成果，養成嚴謹、求實的科學態度和不斷追求的進取精神，磨練不怕吃苦、勇于克服困難的意志品質。

6．培養對社會的責任心和使命感

在研究性學習的過程中，通過社會實踐和調查研究，學生要深入了解科學對于自然、社會與人類的意義與價值，學會關心國家和社會的進步，學會關注人類與環境和諧發展，形成積極的人生態度。

二、高中數學研究性學習

（一）數學研究性學習

數學研究性學習是學生數學學習的一個有機組成部分，是在基礎性、拓展性課程學習的基礎上，進一步鼓勵學生運用所學知識解決數學的和現實的問題的一種有意義的主動學習，是以學生動手動腦主動探索實踐和相互交流為主要學習方式的學習研究活動。它能營造一個使學生勇于探索爭論和相互學習鼓勵的良好氛圍，給學生提供自主探索、合作學習、獨立獲取知識的機會。數學研究性學習更加關注學習過程。

用于數學研究性學習的材料應是建立在學生現有知識經驗基礎之上，能夠激起學生解決問題的欲望，體現數學研究的思想方法和應用價值，有利于營造廣闊的思維活動空間，使學生的思路越走越寬，思維的空間越來越大的一種研究性材料。

數學研究性學習的材料不僅僅是教師自己提供的，而且教師應鼓勵學生通過思考、調查、查閱資料等方式概括出問題，甚至可以通過日常生活情景提出數學問題，進而提煉成研究性學習的材料。在研究性學習的過程中，學生是學習的主人，是問題的研究者和解決者，是主角，而教師則在適當的時候對學生給予幫助，起著組織和引導的作用。

數學研究性學習的評價不僅僅關心學習的結果，而且更重要的是關注學生參與學習的程度、思維的深度與廣度，學生獲得了哪些發展，并且特別注意學生有哪些創造性的見解，同時對學生的情感變化也應予以注意。為了使評價能夠真實可靠，起到促進學生發展的目的，因此要充分尊重學生自己對自己的評價以及學生之間的相互評價。既要有定量的評價也要有定性的評價。

（二）數學研究性學習課題的選擇

數學研究性學習課題主要是指對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。要充分體現學生的自主活動和合作活動。研究性學習課題應以所學的數學知識為基礎，并且密切結合生活和生產實際。新高中數學新教材將按《新大綱》的要求編入以下課題，供參考選用，當然教學時也可由師生自擬課題。提倡教師和學生自己提出問題。

新高中數學新教材研究性學習參考課題有六個：數列在分期付款中的應用，向量在物理中的應用，線性規劃的實際應用，多面體歐拉定理的發現；楊輝三角，定積分在經濟生活中的應用。其教學目標是：（1）學會提出問題和明確探究方向；（2）體驗數學活動的過程；（3）培養創新精神和應用能力；（4）以研究報告或小論文等形式反映研究成果，學會交流。

（三）數學開放題與研究性學習

研究性學習的開展需要有合適的載體，即使是學生提出的問題也要加以整理歸類。作為研究性學習的載體應有利于調動學生學習數學的積極性，有利于學生創造潛能的發揮。實踐證明，數學開放題用于研究性學習是合適的。

自70年代日本、美國在中小學教學中較為普遍地使用數學開放題以來，數學開放題已逐漸被數學教育界認為是最富有教育價值的一種數學問題，因為數學開放題能夠激起學生的求知欲和學習興趣，而強烈的求知欲望濃厚的學習興趣是創新能力發展的內在動力。80年代介紹到我國后，在國內引起了廣泛的關注，各類刊物發表了大量的介紹、探討開放題的理論文章或進行教學實驗方面的文章，并形成了一個教育界討論研究的亮點。

高考命題專家也敏銳地覺察到開放題在考查學生創新能力方面的獨特作用，近幾年在全國和各地的高考試題中連續出現具有開放性的題目。例如高考數學題中，1993年的存在性問題，1994年的信息遷移題，1995年的結論探索性問題，1996的主觀試題客觀化，1997年填空題選擇化，1998的條件開放題，1999年的結論和條件探索開放。

數學開放題的常見題型，按命題要素的發散傾向分為條件開放型、方法開放型、結論開放型、綜合開放型；按解題目標的操作摸式分為規律探索型、量化設計型、分類討論型、數學建模型、問題探求型、情景研究型；按信息過程的訓練價值分為信息遷移型、知識鞏固型、知識發散型；按問題答案的機構類型分為有限可列型、有限混沌型、無限離散型、無限連續型。

數學開放題體現數學研究的思想方法，解答過程是探究的過程，數學開放題體現數學問題的形成過程，體現解答對象的實際狀態，數學開放題有利于為學生個別探索和準確認識自己提供時空，便于因材施教，可以用來培養學生思維的靈活性和發散性，使學生體會學習數學的成功感，使學生體驗到數學的美感。因此數學開放題用于學生研究性學習應是十分有意義的。

（四）數學研究性學習中開放題的編制方法

無論是改造陳題，還是自創新題，編制數學開放題都要圍繞使用開放題的目的進行，開放題應當隨著使用目的和對象的變化而改變，應作為常規問題的補充，在研究型課程中適合學生研究性學習的開放題應具備起點低、入口寬、可拓展性強的特點。

用于研究性學習的開放題盡量能有利于解題者充分利用自己已有的數學知識和能力解決問題。編制的開放題應體現某一完整的數學思想方法，具有鮮明的數學特色，幫助解題者理解什么是數學，為什么要學習數學，以及怎樣學習數學。開放題的編制不僅是教師的任務，它的編制本身也可以成為學生研究性學習的一項內容。

數學開放題的編制方法：

1.以一定的知識結構為依托，從知識網絡的交匯點尋找編制問題的切入點。能力是以知識為基礎的，但掌握知識并不一定具備能力，以一定的知識為背景，編制出開放題，面對實際問題情景，學生可以分析問題情景，根據自己的理解構造具體的數學問題，然后嘗試求解形成的數學問題并完成解答.

2.以某一數學定理或公設為依據，編制開放題。數學中的定理或公設是數學學習的重要依據，中學生的學習特別是研究性學習常常是已有的定理并不需要學生掌握，或者是學生暫時還不知道，因此我們可以設計適當的問題情景，讓學生進行探究，通過自己的努力去發現一般規律，體驗研究的樂趣。

3.從封閉題出發引申出開放題。我們平時所用習題多是具有完備的條件和確定的答案，把它稱之為封閉題，在原有封閉性問題基礎上，使學生的思維向縱深發展，發散開去，能夠啟發學生有獨創性的理解，就有可能形成開放題。在研究性學習中首先呈現給學生封閉題，解答完之后，進一步引導學生進行探究，如探究更一般的結論，探究更多的情形，或探究該結論成立的其它條件等。

4．為體現或重現某一數學研究方法編制開放題。數學家的研究方法蘊涵深刻的數學思想，在數學研究性學習中讓學生親身體驗數學家的某些研究，做小科學家，點燃埋藏在學生心靈深處的智慧火種。以此為著眼點編制開放題，其教育價值是不言而喻的。

5．以實際問題為背景，體現數學的應用價值編制開放題。在實際問題中，條件往往不能完全確定，即條件的不確定性是自然形成的或是實際需要，其不確定性是合理的。如包裝的外型，花圃的圖案，工程的圖紙這些是需要設計的，而由于考慮的角度不同，設計者的知識背景、價值判斷不同，得出的方案也會不同。

以實際問題為背景，編制出設計類型的開放題，用于研究性學習，可以培養學生創新精神和實踐能力。第國際數學教育心理會議的公開課問題:“在一塊矩形地塊上，欲辟出一部分作為花壇，要使花壇的面積為矩形面積的一半，請給出你的設計?！笔且坏拦J的開放題，花圃的圖案形狀沒有規定性的要求，解題者可以進行豐富的想象，充分展示幾何圖形的應用，這種以實際問題為背景編制的開放題往往有趣而富有吸引力。

將數學開放題作為數學研究性學習的一種載體，首先必須有適合的問題，如何編制能夠用于研究性學習的開放題，這是值得研究的。在研究性學習的教學實踐中，有充滿活力和創造力的學生的參與，必將促進對這一問題認識的深化和提高。

目前，“研究性學習”仍屬于初創、實驗階段，還存在許多方面的問題，同時也給我們廣大教師提出了新的挑戰，讓我們共同走進“研究性學習”吧！

參考文獻：

1、李建平、普通高中如何實施研究性學習、中國教育報，2001，5，31

2、李建平、研究，從這里起步、中國教育報，2001，3，23

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一、從與概念有關的趣事引入

興趣可以喚起某種動機，興趣可以培養人的意志，改變人的態度，引導學生成為學習的主人。因此我們在備課時要充分挖掘知識的趣味因素，找一些有關本節概念的，易于理解的趣題作引例，牢牢抓住學生注意力，調動其積極思維，使學生既對概念感興趣，又大致了解這個概念的知識用途。

舉例說明：介紹“點的軌跡”。老師事先準備好一段麻繩和一個彩色小球，將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉。這樣一來，學生注意力一下子被吸引，并且表現出極大興趣。老師在講桌前站定后，便立即停止演示，隨后要求學生解釋剛才的現象。學生的思維被調動起來。在對學生的解釋作出評價后，引出課題“點的軌道”然后引導學生結合生活中常見的“點的軌道”現象給下定義。這樣，一個抽象的概念就在有趣的實驗中得到充分的展示，學生對于點的軌跡也有了形象的理解。從實物引入概念，反映了概念的物質性、現實性，符合認識規律，給學生留下的印象比較深刻持久。

二、問題引入

波利亞說過：問題是數學的心臟。先提出一個典型問題，讓學生動腦思考，在問題的解決中引入概念，使得學生對概念的理解更加深入。

舉例說明：按比例分配的概念。在學習按比例分配時，老師可以提出這樣的問題：“同學們，今天老師帶了12個乒乓球作為禮物送給3個同學，應該如何分配？”“平均分?！薄凹偃绨堰@12個乒乓球作為獎品，獎給在運動會中獲得一二三等獎的同學，又該如何分配呢？”在學生積極思考后，老師可以說：“其實，在我們的日常生活、工農業生產、經濟建設等各項工作中，都會遇到很多不能平均分配的問題。例如，我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會一樣多嗎？”由此就可以引出按照比例分配的概念，這樣使得學生在思考的過程中加深對概念的理解！

三、舊知引入

中國古典小說，在每章節末說，“要知后事如何？且聽下回分解”。在每回開頭“上回講到------且說-------?！倍潭痰膸拙湓挘邢葐⒑螅暯幼匀?，使人看了上章想看下章，恨不得一口氣把這本書讀完。這種古老的說書技巧，也可以用來引入概念，使新舊概念自然街按，連為一體。

舉例說明：幾何概念的貫穿。在學習幾何知識時，按照一條線----二條線（平行與垂直）------三條線（三角形）-----四條線（四邊形）-----多于四條線（多邊形）-----圓這樣的結構，且用數量關系、位置關系作支柱，隨著知識的增加，新知識不斷納入原有的認知結構中去。比如還可以在已經學習了“平行四邊形”的概念的基礎上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學生已有的知識經驗，以定義的方式給出，讓學生主動地與自己的頭腦中原有的知識相互聯系、相互作用，理解它的意義，從而獲得新概念。

四、聯系實際引入

新課程標準要求：“數學教育應努力激發學生的學習情感，將數學與學生生活、學習聯系起來，學習有活力的、活生生的數學”。那么，用生活中的實際例子來引入數學概念，聯系生活實際講數學，把生活經驗數學化，把數學問題生活化，更有利于學生掌握和理解概念。

舉例說明：比例的意義與性質。老師說：“同學們，我們已經學習了比，在我們人體上有許多有趣的比。例如：拳頭滾動一周的長度與腳的長度的比是1：1，身高和胸圍長度比大約是2：1。這些有趣的比作用非常大，比如你到商店去買襪子，只要將襪底在你的拳頭上繞一周，就會知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識來計算的，今天我們就來研究比例的意義和性質。”老師選取一些生動形象的實際例子來引入數學概念，既可以激發學生的學習興趣和學習動機，又符合學生由感性到理性的認識規律。

五、通過類比引入

根據新舊知識的連結點、相似點，采用類比的方法引入概念。數學有著嚴密的科學體系，數學知識的連貫性很強，多數概念都產生于或者發展與相應的原有知識的基礎上，所以用類比引入新概念有利于學生在思維中將一定的知識和技能從已知的對象遷移到未知的對象上去，有利于培養學生的探索發現能力。

舉例說明：（1）類比“方程”和“不等式”：方程：含有未知數的等式；不等式：表示兩個數或兩個代數式不相等的算式。（2）類比“分數”和“分式”：分數：把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。分母表示把一個物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式。這種方法導入自然，使學生能從類推中促進知識的遷移，發現新知識，從而掌握新知識。

參考文獻

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數學具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，這就決定了學習數學有一定的難度。所以，在課堂教學中開發學生大腦智力因數、引導學生數學思維更要求師生間有充分的交流與合作，因而，師生互動也表現得更加突出。據我所知，多數數學老師在實踐中的互動形式主要有：1.多提問，一堂課不間斷的提問，力求照顧到全體學生；2..多討論，老師講完一個問題后，讓學生分組討論，然后再指派或讓學生推舉代表發言。這兩種形式確實具有易掌控、易操作、有利于按時完成教學任務等優點。但我認為這并不是真正意義上的“互動”。真正的“互動”應具備下列幾個要件：

一、師生互動，首先要強調師生的平等。

師生平等，老師不是居高臨下的“說教者”，而是作為引導者，引導學生自主完成學習任務。我們知道，教育作為人類重要的社會活動，其本質是人與人的交往。教學過程中的師生互動，既體現了一般的人際之間的關系，又在教育的情景中“生產”著教育，推動教育的發展。根據交往理論，交往是主體間的對話，主體間對話是在自主的基礎上進行的，而自主的前提是平等的參與。因為只有平等參與，交往雙方才可能向對方敞開精神，彼此接納，無拘無束地交流互動。因此，實現真正意義上的師生互動，首先應是師生完全平等地參與到教學活動中來。

應該說，通過各種學習，尤其是課改理論的學習，我們的許多教師都逐步地樹立起了這種平等的意識。但是在實際問題當中，師生之間不平等的情況仍然存在。教師聞道在先，術業專攻，是先知先覺，很容易在學生面前就有一種優越感。年齡比學生大，見識比學生多，認識比學生深刻，有時就很難傾聽學生那些還不那么成熟、幼稚，甚至錯誤的意見。尤其是遇到一些不那么馴服聽話的孩子，師道的尊嚴就很難不表現出來。因此，師生平等地參與到教學活動中來，其實是比較難于做到的。

怎樣才有師生間真正的平等，這當然需要教師們繼續學習，深切領悟，努力實踐。但師生間的平等并不是說到就可以做到的。如果我們的教師仍然是傳統的角色，采用傳統的方式教學，學生們仍然是知識的容器，那么，把師生平等的要求提千百遍，恐怕也是實現不了的。很難設想，一個高高在上的、充滿師道尊嚴意識的教師，會同學生一道，平等地參與到教學活動中來。要知道，歷史上師道尊嚴并不是憑空產生的，它其實是維持傳統教學的客觀需要。這里必須指出的是，平等的地位，只能產生于平等的角色。只有當教師的角色轉變了，才有可能在教學過程中，真正做到師生平等地參與。轉變教育觀念，改變學習方式，師生平等地參與到教學活動中來，實現新課程的培養目標，是這次課程改革實施過程中要完成的主要任務，這也正是綱要中提出師生積極互動的深切含義。為什么我們要強調綱要提出的師生互動絕不僅僅是一種教學方式或方法，其理由就在于此。

二、師生互動，還應該徹底改變師生的課堂角色，變“教”為“導”，變“接受”為“自學”。

課堂教學應該是師生間共同協作的過程，是學生自主學習的主陣地，也是師生互動的直接體現，要求教師從已經習慣了的傳統角色中走出來，從傳統教學中的知識傳授者，轉變成為學生學習活動的參與者、組織者、引導者。現代建構主義的學習理論認為，知識并不能簡單地由教師或其他人傳授給學生，而只能由每個學生依據自身已有的知識和經驗主動地加以建構；同時，讓學生有更多的機會去論及自己的思想，與同學進行充分的交流，學會如何去聆聽別人的意見并作出適當的評價，有利于促進學生的自我意識和自我反省。從而，數學素質教育中教師的作用就不應被看成“知識的授予者”，而應成為學生學習活動的促進者、啟發者、質疑者和示范者，充分發揮“導向”作用，真正體現“學生是主體，教師是主導”的教育思想。所以課堂教學過程的師生合作主要體現在如何充分發揮教師的“導學”和學生的“自學”上。

舉個例子，在初中幾何中，講圓柱、圓錐的側面展開圖時，教師的“導學”可以從實驗入手，實際操作或演示就可很快得出結論：圓錐側面展開圖是扇形，此扇形的弧長是圓錐的底面圓周長，扇形的半徑是圓錐的母線長。這種演示“導學”既直觀又能引起學生注意，學生非常容易接受這個知識點。在上述老師提示后，學生自己閱讀，找出本節的重點，新知點和難點，先自己利用已學知識嘗試解決，攻克疑難問題。這是學生“自學”的過程，在老師做了演示之后，再讓學生閱讀，自行解決課本中的例題和練習。有了“導學”的認識，學生對本節課的知識點就相當明確，“自學”的過程實際上是在運用舊知識進行求證的過程，也是學生數學思維得以進一步鍛煉的過程。所以，改變課堂教學的“傳遞式”課型，還課堂為學生的自主學習陣地是師生雙邊活動得以體現，師生互動能否充分實現的關鍵。

總之，教師成為學生學習活動的參與者，平等地參與學生的學習活動，必然導致新的、平等的師生關系的確立。我們教師要有充分的、清醒的認識，從而自覺地、主動地、積極地去實現這種轉變。與此同時，我們也應看到，這次課改，從課程的設置，教材的編寫，教學要求等許多方面，都為我們教師這種角色轉變，提供了很多有利的條件（其實不轉變角色已不能適應新課程實施的要求了）。我們應充分利用這些有利條件，在課改實驗中，盡快完成這種轉變，以適應新課程實施的要求。

三、創設問題情景，在教學過程中體現師生的合作與交流是“師生互動”的直接表現

在教學過程中，師生之間的交流應是“隨機”發生，而不一定要人為地設計出某個時間段老師講，某個時間段學生討論，也不一定是老師問學生答。即在課堂教學中，盡量創設寬松平等的教學環境，在教學語言上盡量用“激勵式”、“誘導式”語言點燃學生的思維火花，盡量創設問題，引導學生回答，提高學生學習能力及培養學生創設思維能力。例如，在教學“完全平方公式”時，可以這樣來進行:

1.提出問題:(a+b)2=a2+b2成立嗎?

(顯然學生的回答有:成立、不成立、不一定成立等等)

2.引導學生計算:

①(a+b)(a+b)=

②(m+n)(m+n)=

③(x+y)(x+y)=

④(c-d)(c-d)=

3.引導學生發現①算式的左邊就是完全平方式(a+b)2

②算式的結果形式是a2±2ab+b2

4.進一步提出：能直接寫出結果嗎(a+1)2=?

這樣學生也就一下子明白了這個規律可以作為公式…

通過教師的誘導，學生的參與，使學生既認識了完全平方公式的形成，對該公式的掌握也一定有很大的幫助，這種探索精神也勢必激勵學生去習，從而提高學習能力。再如講授一元一次不等式的解法:

例1解不等式4(1+x)<x+13

解：去括號，得

4+4x<x+13

移項，得

4x-x<13-4

合并同類項，得

3x<9

不等式兩邊都除3，得x<3

“無問題”教學可以是照本宣科，學生很快便會“依葫蘆畫瓢”，不知“所以然”，當然就難以有應變思維了?！皠撛O問題”教學，教師設計以下問題讓學生思考:

①不等式的結果(解集)的形式是怎樣的?

②結果(解集)的形式與原題的形式有哪些差異?

③如何消除這些差異?

學生有了問題，自然注意力集中，思維活躍……

在學習新內容時，如果都能誘導分析，讓學生開動腦筋，那么學生不但對知識理解深入，而且有利于他們創造思維的培養。如上例，學生弄清了去括號，移項等……是朝著解集的形式轉化的目的后，對于解不等式，也就能很清楚知道“第一步是去分母”了。這也就是我們所希望的創造思維能力所起的作用。

古人常說，功夫在詩外。教學也是如此，為了提高學術功底，我們必須在課外大量地讀書，認真地思考；為了改善教學技巧，我們必須在備課的時候仔細推敲、精益求精；為了在課堂上達到“師生互動”的效果，我們在課外就應該花更多的時間和學生交流，放下架子和學生真正成為朋友。學術功底是根基，必須扎實牢靠，并不斷更新；教學技巧是手段，必須生動活潑，直觀形象；師生互動是平臺，必須師生雙方融洽和諧，平等對話。如果我們把學術功底、教學技巧和師生互動三者結合起來，在實踐中不斷完善，逐步達到爐火純青的地步，那么我們的教學就是完美的，我們的教育就是成功的。

四、師生互動，還應該建立在師生間相互理解的基礎上。

教學過程中，師生互動，看到的是一種雙邊（或多邊）交往活動，教師提問，學生回答，教師指點，學生思考；學生提問，教師回答；共同探討問題，互相交流，互相傾聽、感悟、期待。這些活動的實質，是師生間相互的溝通，實現這種溝通，理解是基礎。

有人把理解稱為交往溝通的“生態條件”，這是不無道理的，因為人與人之間的溝通，都是在相互理解的基礎上實現的。研究表明，學習活動中，智力因素和情感因素是同時發生、交互作用的。它們共同組成學生學習心理的兩個不同方面，從不同角度對學習活動施以重大影響。如果沒有情感因素的參與，學習活動既不能發生也難以持久。情感因素在學習活動中的作用，在許多情況下超過智力因素的作用。因此，新課程實施中，情感因素和過程被提到一個新的高度來認識。發展學生豐富的情感，是這次課程改革的目標之一?？梢赃@么說，增進相互理解的過程，其實也是豐富、發展交往雙方情感因素的過程。

教學實踐顯示，教學活動中最活躍的因素是師生間的關糸。師生之間、同學之間的友好關系是建立在互相切磋、相互幫助的基礎之上的。在數學教學中，數學教師應有意識地提出一些學生感興趣的、并有一定深度的課題，組織學生開展討論，在師生互相切磋、共同研究中來增進師生、同學之間的情誼，培養積極的情感。我們看到，許多優秀的教師，他們的成功，很大程度上，是與學生建立起了一種非常融洽的關系，相互理解，彼此信任，情感相通，配合默契。教學活動中，通過師生、生生、個體與群體的互動，合作學習，真誠溝通。老師的一言一行，甚至一個眼神，一絲微笑，學生都心領神會。而學生的一舉一動，甚至面部表情的些許變化，老師也能心明如鏡，知之甚深，真可謂心有靈犀一點通。這里的靈犀就是我們的老師在長期的教學活動中，與學生建立起來的相互理解。

五、創設有利于師生互動的教學方式及組織形式。

教學過程中要實現師生積極互動，要求師生間有盡可能充分的交往活動。目前，中學教學班的班額還普遍偏大（一般50多60人，有的甚至達70多人），要實現充分交往活動是有很大難度的。因此，必須積極探索在現實條件下，有利于師生在教學過程中實現積極互動的教學方式及組織形式。

在教學過程中，由于教師采用的教學方法不同，一般存在以下三種主要課型：

1、以講授法為主的課型；

2、以討論法為主的課型；

3、以探究——研討為主的課型。

第2、3兩種課型所形成的交流方式比較好，在新課程實施過程中，有許多課都采用了這兩種課型。這兩種課型極有利于形成師生、生生、個體與群體的互動。

與這兩種課型適應的教學組織形式有多種，但以小組為單位開展學習研究活動有更多的優越性。根據實踐經驗，這種小組以4——6人為宜，全班不超過10個小組。小組內成員輪流擔任組長，負責召集工作及充當小組發言人。這種組織形式首先使小組內生、生交流互動比較充分。其次，因為人人都要當組長，所以對組內同學的意見、其他組同學的發言也都能注意地傾聽。由于代表組內同學發言，主人公的意識也更強一些。每個組與老師的交流、對話也比較充分，較好地彌補了大班額條件下，師生、生生交往的不便，為互動創設較好的條件，是目前條件下有利于師生積極互動的一種比較好的教學組織形式。

文獻參考：

吳興長，《數學教學中非智力因素的培養》

北京教育行政學院，《教育心理學講座》

篇10

“沒有規矩，不成方圓。”小組合作也不例外。一般情況下的小組討論，學習能力強的學生未等其他學生發言，就把自己的意見說出來，這樣一來，那些學困生相當于走了個形式，沒有經過大腦思考便得到了現成的答案，結果，好的更好，差的更差。這時就需要教師事先作好安排，講清合作規則，使學生掌握必要的合作技能：包括如何傾聽別人的意見，在小組中如何開展討論，如何表達自己的見解，如何糾正他人的錯誤，如何汲取他人的長處，如何歸納眾人的意見等。

因此，可在小組合作前這樣規定：討論前，小組成員先獨立思考，把想法記下來，再由小組長安排，各個成員各自說出自己的想法，其他人傾聽，然后討論，形成集體的意見后由記錄員將其整理出來。這樣，每個人都有了思考的機會和時間。

二、在合作中學會傾聽

在開始合作時，特別是低年級學生，具有個人心理優勢，一節課注意力集中的時間過短，對于自己的發言比較認真，不容易接納別人的意見，而對于同學的發言，卻不重視。為此，在課堂上要求學生學會三聽：一是認真聽每位同學的發言，眼睛看著對方，要聽完整，認真思辨，不插嘴；二是要聽別人的發言要點，培養學生收集信息的能力；三是聽后須作思考，并做出判斷，提出自己的見解，提高學生反思、評價的能力。在這樣要求下訓練，引導學生學會反復琢磨、體會，善于傾聽同學意見，不隨意打斷別人發言，提供學生發表不同見解的空間，以達到相互啟迪、幫助的功效，學生不但養成了專心聽的習慣，調動主動參與的積極性，而且培養了學生相互尊重的品質，能體會他人的情感，善于控制自己的情緒。

三、學會表達自己的觀點

語言表達是人與人交往的基礎，也是自己實際能力的一項重要指標。合作學習需要每個成員清楚地表達自己的想法，互相了解對方的觀點。教師重點要對不會表達的學生有意識進行示范指導，而全班匯報展示成果時，讓更多學生充分表達自己的見解，讓別人聽懂你的見解，不光是優生要會表達、善表達，那些性格內向，不善言辭的學生也要學會表達，整體提高學生的表達技能。為此，教師要深入到小組中，調動這些學生的參與欲望，培養他們敢說的勇氣，把一些基礎較差、思維能力弱、不善言談的學生也有表現自我和獲得成功的機會。

因此，在教學中要有意識地提供機會讓學生多表達自己的觀點，給學生的討論提供時間和空間，使學生敢說、會說，培養學生善于傾聽、思考、判斷、選擇和補充別人意見的好習慣，一旦發現問題及時給予指點，使學生逐漸學會用語言準確表達出自己的想法。

四、在合作中學會討論

討論交流是合作學習解決問題的關鍵。每個成員表達了自己的想法后，意見不統一、理解不一致時，這就需要通過討論、爭辯，達成共識，解決問題。教師指導時，按一定的步驟和方法進行，讓不同層次的學生逐步學會討論交流問題的技能。合作學習中，學生在獨立思考的基礎上，再通過共同討論、相互啟發，從而達到合作的目的。學生討論問題后，各組由一人匯報自學或獨立思考的內容，其他成員必須認真聽，并且有自己的補充和見解。最后，還應將各自遇到的問題提供給全組成員討論，對達成共識和未能解決的問題分別歸納整理，得出正確的結論。通過這樣的討論，可以培養學生的思考、分析、判斷和表達能力。

五、在合作中學會組織

篇11

要從知識的形成過程出發，要貼近學生生活，要帶有激勵性和挑戰性。只有這樣，才能引發學生的自主性學習，使學生的認知過程和情感過程統一起來。

2.自主探究，建構新知

“以學生的發展為本”是新課程理念的最高境界，要發展學生智力，培養學生能力，教師在教學過程中，始終把學生放在主體的位置，教師所做的備課、組織教學、教學目標的確定、教學過程的設計、教學方法的選用等等工作，都從學生的實際出發，要在課堂上最大限度地盡量地使學生動口、動手、動腦，極大地調動學生學習的積極性和主動性，養成良好的自學習慣，培養刻苦鉆研精神。促進學生主動參與、主動探索、主動思考、主動實踐。如果創設的情境達到了前面的要求，那么學生會自然地產生一種探究的欲望。教師只要適當地組織引導，把學習的主動權交給學生，讓學生自主地嘗試、操作、觀察、動手、動腦，完成探究活動。因為學生是信息加工的主體，是意義的主動建構者，教師是學生意義建構的幫助者、促進者。

3.合作交流，完善認知

篇12

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基礎教育由應試教育向素質教育轉變，目前任務仍十分繁重。深化素質教育，作為學校教育的各門學科，都應當緊緊圍繞素質教育內容對學生加以培育，以適應跨世紀社會發展的需要。小學數學學科自然不能例外。從當前實際出發，充分認識小學數學教學在素質教育中的地位作用，圍繞素質教育提高小學數學課堂教學效率顯得尤為重要。

一、小學數學教育在素質教育中的地位和作用

九年義務教育全日制小學數學大綱（試用）指出：“要根據數學學科的特點，對學生進行學用的教育，愛祖國、愛社會主義、愛科學的教育，辯證唯物主義觀點的啟蒙教育。培養學生良好的學習習慣和獨立思考、克服困難的精神?！边@就是說，小學數學，不只是傳授知識、培養能力和發展智力，還要體現社會主義教育性質，體現素質教育的目的。

小學數學教學在素質教育中的功能作用主要體現在以下幾方面：

1.培養邏輯思維能力。邏輯思維能力是指正確、合理思考的能力。即對事物進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力，采用科學的邏輯方法，準確而有條理地表達自己思維過程的能力。邏輯思維能力不僅是學好數學必須具備的能力，也是學好其他學科，處理日常生活問題所必須的能力。數學是用數量關系（包括空間形式）反映客觀世界的一門學科，邏輯性很強、很嚴密，因此，在培養學生初步的邏輯思維能力方面小學數學具有優越的條件和負有一定的責任。

2.開發非智力因素。人們形形、紛繁復雜的心理活動，可以一分為二，即智力因素與非智力因素。智力因素由觀察力、記憶力、想象力、思維力與注意力五種基本因素組成；非智力因素包括的心理因素很多，從小學生搞好學習的角度說，它主要是由動機、興趣、情感、意志和性格五種基本因素組成。非智力因素對學生的素質發展起主導的作用。從心理活動的穩定性來看，研究與事實表明，人的智力因素是比較穩定的，不會有多大的波動。而非智力因素則不然，它很不穩定，波動性非常大。正因為如此，在小學素質教育中，開發和培養學生的非智力因素顯得尤為重要。而數學是一門集知識性、審美性、邏輯性很強的學科。知識性主要體現在解決實際問題上，它激發學生的求知欲，從而產生良好的學習動機；審美性，如數學語言與解題方法的簡潔美，幾何圖形的數字排列的對稱美，數學結構與分式的統一美等等，能夠調動學生學習的積極性和主動性；邏輯性則要求對學生進行嚴格的技能技巧訓練，如仔細審題、認真計算、書寫整潔、格式規范、自覺檢驗、按時完成、正視錯誤、主動改正、不怕挫折等良好的學習習慣，培養學生獨立思考、克服困難的學習精神和處理問題的韌勁。

3.啟蒙辯證唯物主義的觀點。在漫長的數學知識的發生、發展過程中，人類積累了一整套數學的科學思維規律和處理問題的方法。這些規律和方法無不充滿辯證唯物主義思想。結合數學教學，對學生進行辯證唯物主義觀點的教育例子很多。如通過學生實際操作、實例引進數學知識或實際應用，對學生進行實踐第一的觀點教育；通過多與少、加與減、已知與未知、精確與近似、直與曲……對學生進行矛盾對立統一的觀點教育；通過概念與概念之間、性質與性質之間，概念、性質與法則之間，和數與式、數與形，數、形、式與應用題之間存在著的內在聯系，對學生進行對立統一、相互聯系和發展觀點的教育；通過四則運算、解答應用題和幾何形體計算公式推導過程，對學生進行矛盾轉化觀點的教育。

4.進行愛祖國、愛社會主義教育。我國是數學的故鄉之一，中華民族有光輝燦爛的數學史。小學數學課本中收入了許多生動的素材，教師結合有關教學內容，介紹我國數學家的杰出成就，介紹現代中國人對數學發展的巨大貢獻，介紹我國數學家尤其是解放以來許多數學家為祖國建設事業奮斗的事跡，從而激發學生愛祖國、愛社會主義的熱情，培養學生立志獻身祖國建設事業而刻苦學習的精神。

5.培養科學文化素質。九年義務教育小學數學的教學內容和教材，使學生具有進行整數、小數、分數四則計算能力；獲得有關整數、小數、分數、百分數和比例基礎知識，常見的一些數量關系和解答應用題的方法，用字母表示數、簡易方程、量與計量，簡單幾何圖形、珠算、統計的一些初步知識；發展學生初步的空間觀念，初步學會運用所學的數學知識和方法解決一些簡單的實際問題。

二、圍繞素質教育提高小學數學課堂教學效率

實施素質教育關鍵在課堂。數學課堂是實施素質教育的主陣地。只有緊緊地圍繞素質教育的目標和要求，增強素質教育的意識性、使命感和責任感，改進陳舊的課堂教學方法、方式，才能提高數學課堂教學對學生進行素質教育的效率。

長期以來，受傳統的教學觀念的影響，重視應試教育，忽視素質教育，課堂教育過分地夸大教師的主導作用，忽視了學生的主體作用，課堂上該學生操作的老師代替了，該學生思考的老師講解了，老師包攬了學生的學習活動，嚴重扭曲了教學行為，抑制學生學習的主動性和創造性，束縛學生才能的發展。教學既要發揮教師的主導作用，又要發揮學生的主體作用，“兩主”不可偏廢。從某種程度上來說，課堂教學應從學生的主體作用的發揮上來發揮教師的主導作用。教師的主導作用主要體現在激發學生學習興趣，啟發學生思考，引導學生觀察、操作、表述，指點學習方法，控制與調整學生學習活動。具體地講：

1.培養興趣。興趣是學生學好數學的首要條件，培養學生學習興趣是老師的首要任務。數學教學不單純是一個認識過程，還是一種情感過程。美國著名的心理學家布盧姆曾指出：情感并不一定伴隨認識效果自然而然地產生和發展，它需要教育者專門地評價和培養。這就是說，學生的學習興趣要老師來培養。數學課堂教育，培養學生興趣應從以下幾方面入手。首先，要創設和諧、愉悅的課堂氣氛。教師要遵循學生的認知規律和心理特征，創設求知情境，激發學生愛學數學的內動力。其次，講究課堂授課藝術。教師通過授課的藝術性、形象性、鮮明性、趣味性，揭示數學教材的本身魅力，調動學生學習的積極性和主動性，使學生生動、活潑地進行學習。第三，面向全體學生，建立良好的師生關系。教師要幫助后進生克服心理障礙，使他們有信心學得好，提高克服困難的勇氣。第四，加強師生情感交流。教師以敏銳的洞察力，了解學生的情緒表現，迅速及時地用手勢、眼神、語言等手段交流情感，注意捕捉后進生回答中的合理因素，發展他們思維的“閃光點”，有計劃地設置一些后進生能夠回答的問題，維護他們的自尊心，激發他們的求知欲和學習熱情。

篇13

但是我們知道，純粹的“探究”或“講授”都不能產生良好的效果，還是將二者有機結合好。講授法是我們所熟悉的，只要我們多思考、多研究，在講授法中融入學生探究，少講一點，留點時間讓學生去探究，并想法使學生探究與教師講解二者很好地結合起來，就能產生良好的效果。

學生學會探究，自己能獲得一部會知識了，不正達到了“教是為了不教”的目標了嗎？

教師講得少了，自己的負擔減輕了，上課也輕松了。

我們要養成一種習慣，那就是只要我們上課感覺很累，我們就得反思，是不是自己講得太多了，學生參與的時間太少了，這節課的某些環節是否能夠改進一下，改成學生活動，讓學生去探究。思想一變，方法自然會有。教學需要我們做個有心人。

《數學課程標準（實驗稿）》為數學教學樹立了新理念、提出了新要求，中學數學教學正在發生巨大的變化。作為中學數學教師，我們應深刻地反思我們的數學教學歷程，從中總結經驗，發現不足，并在今后的教學實踐中去探索和理解新的數學課程理念，建立起新的中學數學教學觀。

目前我們的數學教學中存在著一些亟待解決的問題。反映在課程上：教學內容相對偏窄，偏深，偏舊；學生的學習方式單一、被動，缺少自主探索、合作學習、獨立獲取知識的機會；對書本知識、運算和推理技能關注較多，對學生學習數學的態度，情感關注較少，課程實施過程基本以教師、課堂、書本為中心，難以培養學生的創新精神和實踐能力。分析我們的課堂教學，可以用八個字概括：狹窄、單調、沉悶、雜亂。由此而產生學生知識靜化、思維滯化、能力弱化的現象。事實上，學生的數學學習不僅是簡單的概念、法則、公式的掌握和熟練的過程，應該更具有探索性和思考性，教師要鼓勵學生用自己的方法去探索問題和思考問題。

一、樹立多元化的教學目標

“義務教育階段的數學課程，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，有思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展?！被谶@樣的理念，數學課程從知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度等四個方面樹立其多元化的教學目標。

數學教學不僅要關注知識技能，也要關注情感態度，即將智力因素和非智力因素放在同等重要的位置上。數學教學不僅要關注問題解決，也要關注數學思考過程。即將結果和過程放在同等重要的位置上。

二、建立互動型的師生關系

數學教學是數學活動的教學，是師生交往、互動與共同發展的過程。教學中的師生互動實際上是師生雙方以自己的固定經驗（自我概念）來了解對方的一種相互交流與溝通的方式。在傳統的教學中，教師的目標重心在于改變學生、促進學習、形成態度、培養性格和促進技能的發展，完成社會化的任務。學生的目標在于通過規定的學習與發展過程盡可能地改變自己，接受社會化。只有縮小這種目標上的差異，才有利于教學目標的達成與實現。

這首先要求教師轉變三種角色。由傳統的知識傳授者成為學生學習的參與者、引導者和合作者；由傳統的教學支配者、控制者成為學生學習的組織者、促進者和指導者；由傳統的靜態知識占有者成為動態的研究者。

一旦課堂上師生角色得以轉換和新型師生關系得以建立，我們就能清楚地感受到課堂教學正在師生互動中進行和完成。師生間要建立良好的互動型關系，就要求教師在備課時從學生知識狀況和生活實際出發，更多地考慮如何讓學生通過自己的學習來學會有關知識和技能；在課堂上尊重學生，尊重學生的經驗與認知水平，讓學生大膽提問、主動探究，發動學生積極地投入對問題的探討與解決之中；應靈活變換角色，用“童眼”來看問題，懷“童心”來想問題，以“童趣”來解問題，共同參與學生的學習活動，成為學生的知心朋友、學習伙伴。

其次，要求教師以新角色實踐教學。這要求教師破除師道尊嚴的舊俗，與學生建立人格上的平等關系，走下高高在上的講臺，走到學生身邊，與學生進行平等對話與交流；要求教師與學生一起討論和探索，鼓勵他們主動自由地思考、發問、選擇，甚至行動，努力當學生的顧問，做他們交換意見時的積極參與者；要求教師與學生建立情感上的朋友關系，使學生感到教師是他們的親密朋友。

三、引入生活化的學習情境

新課標指出：數學課程“不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發……，數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上?！边@就是說，數學教學活動要以學生的發展為本，要把學生的個人知識、直接經驗和現實世界作為數學教學的重要資源。

例如，筆者在講授八年級“平方差公式”這節內容時，首先是出示了一道這樣的問題作為引入：小明去市場買糖，這種糖每千克9.8元，他買了10.2千克糖，給售貨員應該給多少錢？就在售貨員用計算器算錢時，小明一下說出了應該給99.96元錢，售貨員大吃一驚，結果她算出來和小明說得一樣。然后筆者就問學生小明是不是很聰明，同學們都說是，筆者接著說小明為什么算得這么快，并不是比你們聰明很多，而是用的是我們今天所學得知識來算的，你們學完也會和他一樣聰明的。

學生頓時對這節課有了很大興趣，聽講也很專心，這節課達到了很好的效果。同時也達到了讓學生把所學知道用到現實生活中的目的。

四、選用開放性的教學內容

新的數學課程改革強調，數學學習并不是單純的解題訓練，現實的和探索性的數學學習活動也要成為數學學習內容的有機組成部分。

開放性的教學內容首先表現在開放題的應用上，以開放題為載體來促進數學學習方式的轉變，彌補了數學教學開放性、培養學生主體精神和創新能力的不足。數學開放題的類型很多，如：某中學搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇，現征集設計方案，要求設計的方案成軸對稱（可以用圓、正方形或其它圖形組成），如何設計？（這是一道結論開放題，有助于考查學生的發散思維與創新精神）

在開放題的使用中要注意，開放題中所包含的事件應為學生所熟悉，其內容是有趣的，是學生所愿意研究的，是通過學生現有的知識能夠解決的，是可行的問題；開放題應使學生能夠獲得各種水平程度的解答，學生所做出的解答可以是互不相同的；開放題教學應體現學生的主體地位。

當然，教學實踐是一個復雜的過程，理論是不可能完全應用于實踐中的，這就需要在今后的教學實踐中，大膽嘗試，細心領會，發現問題，積極尋求解決問題的方法。

參考文獻：